Sinusoids & Spectrum: 정현파, 복소지수, 주파수 스펙트럼 정리
Sinusoids & Spectrum: 정현파, 복소지수, 주파수 스펙트럼 정리
🎧 Lec.13 정리: Sinusoids & Spectrum (이미지 처리 특강)
강의자: 김휘용 교수
출처: http://vmlab.khu.ac.kr
과목: CSE426 Image Processing - Spring 2025
📌 목차
- Sinusoids (정현파)
- Complex Exponentials (복소지수)
- Frequency Spectrum of a Sinusoid
- Sum of Sinusoids
- Sum of Complex Exponentials
- Frequency Spectrum
- Analysis & Synthesis
1. Sinusoids (정현파)
정현파는 다음과 같은 수식으로 표현됩니다:
\[x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\]- A: 진폭 (Amplitude)
- $\omega$: 라디안 주파수 (Radian frequency), $\omega = 2\pi f$
- T: 주기 (Period), $T = \frac{1}{f}$
- $\phi$: 위상 (Phase), $\phi = -\omega t_0$
예시:
\[x(t) = 5 \cos(0.3\pi t + 1.2\pi)\]2. Complex Exponentials (복소지수)
복소수는 다음 두 방식으로 표현됩니다:
- Cartesian form: $z = x + jy$
- Polar form: $z = re^{j\theta} = r(\cos\theta + j\sin\theta)$
🎯 Euler’s Formula
\[e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)\]이를 이용하면 코사인과 사인은 다음처럼 표현됩니다:
\[\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2},\quad \sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}\]복소지수 표현은 곱셈/나눗셈 연산에서 특히 유용하며, 신호 분석에 효과적입니다.
3. Frequency Spectrum of a Sinusoid
정현파는 두 개의 복소지수로 분해될 수 있습니다:
\[x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) = \frac{A}{2} e^{j(\omega_0 t + \phi)} + \frac{A}{2} e^{-j(\omega_0 t + \phi)}\]또는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
\[x(t) = X(\omega_0) e^{j\omega_0 t} + X(-\omega_0) e^{-j\omega_0 t}\]여기서:
\[X(\omega_0) = \frac{A}{2} e^{j\phi},\quad X(-\omega_0) = \frac{A}{2} e^{-j\phi}\]이렇게 얻어진 주파수와 복소진폭의 쌍을 Frequency Spectrum (주파수 스펙트럼)이라 부릅니다.
4. Sum of Sinusoids
임의의 실수 신호는 정현파의 합으로 표현될 수 있습니다:
\[x(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{N} A_k \cos(\omega_k t + \phi_k)\]- 각 $A_k$는 진폭
- 각 $\phi_k$는 위상입니다
5. Sum of Complex Exponentials
정현파의 합은 복소지수의 합으로 표현할 수 있습니다:
\[x(t) = \sum_{k=0}^{N} X_k e^{j\omega_k t} + X_k^* e^{-j\omega_k t}\]또는 더 일반적으로:
\[x(t) = \sum_{k=-N}^{N} X_k e^{j\omega_k t}\]여기서 $X_{-k} = X_k^*$ 라면 실수 신호가 되고, 켤레 대칭 (conjugate symmetry)을 가진 스펙트럼이라 합니다.
6. Frequency Spectrum
주파수 스펙트럼은 다음과 같이 두 부분으로 나뉩니다:
Magnitude Spectrum (크기 스펙트럼): $ X_k $ - Phase Spectrum (위상 스펙트럼): $\angle X_k$
실수 신호의 경우, 아래 조건을 만족하는 켤레 대칭을 가집니다:
\[X_{-k} = X_k^*\]7. Analysis & Synthesis
- Synthesis (합성): 주파수 성분을 이용해 시간 신호 $x(t)$를 생성
- Analysis (분석): 시간 신호 $x(t)$로부터 주파수 성분 $X(\omega)$를 추출
예시:
\[x(t) = 14\cos\left(2\pi\frac{100}{3}t\right) + 8\cos\left(2\pi\frac{250}{2}t\right)\]이 신호는 주파수 100Hz, 250Hz 성분을 포함한 합성 신호입니다.
🔗 참고 자료
This post is licensed under CC BY 4.0 by the author.