Ch10. 그래프 이론

1.다양한 그래프 알고리즘(비중은 낮음)

이미 배운 내용을 훑어보자

• 그래프 알고리즘의 한 유형: ‘DFS/BFS’와 ‘최단 경로’
  • 크루스칼 알고리즘 -> 그리디 알고리즘
  • 위상 정렬 알고리즘 -> 큐 자료 or 스택 자료구조 활용해 구현
• 그래프: 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가진 자료구조
  
• 트리: 그래프 자료구조 중 하나

⭐알고리즘 문제를 접했을 때 ‘서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다’는 이야기 들으면 그래프!

그래프 VS 트리

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

그래프의 구현 방식

• 인접 행렬: 2차원 배열을 사용하는 방식
  • 간선 정보 저장: O(V^2) 만큼의 메모리 공간 필요
  • 특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있다.
  • 예시) 플루이드 워셜 알고리즘
• 인접 리스트: 리스트를 사용하는 방식
  • 간선 정보 저장: O(E) 만큼의 메모리 공간 필요
  • 특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(V)의 시간으로 즉시 알 수 있다.
    

⭐메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘 선택!!
ex) 노드의 개수가 적은 경우에는 플로이드 워셜 알고리즘 이용 vs 노드와 간선의 개수가 모두 많으면 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘 이용

서로소 집합

• 서로소 집합: 공통 원소가 없는 두 집합을 의미

  서로소 집합 자료구조

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조(그래프 알고리즘에서 매우 중요)
• 연산:
  • union: 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  • find: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

구현

• 트리 자료구조를 이용하여 집합 표현.
  • 번호가 큰 노드가 번호가 작은 노드를 가리키도록
• 서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.
  
  1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
     I. A와 B의 루트노드 A’, B’를 각각 찾는다.
     II. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다(B’가 A’를 가리키도록 한다.) ->작은 원소가 부모 노드가 되도록 설정.
  2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.
• union 연산들은 그래프 형태로 표현 가능
  • 노드: 각 원소
  • 간선: ‘같은 집합에 속한다’는 정보를 담은 union 연산

예시

union 연산을 하나씩 확인하면서 서로 다른 두 원소에 대해 합집합을 수행해야 할 때는, 각각 루트 노드를 찾아서 더 큰 로투 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 하면 된다.

• 실제로 루트를 확인하고자 할 때는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가서 최종적인 루트 노드를 찾아야한다.

기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

v,e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent,a,b)

print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end='')

print()

print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end='')

• find 함수의 최악 시간 복잡도: O(V)
• 전체 최악의 시간 복잡도: O(VM)
  

=> 경로 압축 기법을 이용하면 개선 가능
=> 경로 압축?: find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법! 기존의 find 함수를 다음과 같이 변경!

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
    
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1)

for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end = '')

print()

print("부모 테이블: ", end = '')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[1], end=' ')

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

• 경로 압축 바법 이용: O(V + M(1 + log2-M/V V))
  • 노드의 개수: V
  • 최대 V-1 개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할때

서로소 집합을 이용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 이용 가능.
  • 참고: 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별 가능
  • 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클 판별 가능

알고리즘

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   I. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산 수행
   II. 루트 노드가 서로 같아면 사이클이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정 반복
   

=> 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능.

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, a)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1)

for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

cycle = False

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

신장 트리

• 신장 트리: 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프(모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클 존재X)

크루스칼 알고리즘

• 크루스칼 알고리즘: 가장 적은 비용으로 모든 노드 연결(그리디 알고리즘)
  ex) 모든 도시를 연결할 때, 최소한의 비용으로 연결하려면?
• 최소 신장 트리: 트리의 일종이므로 간선의 개수가 “노드의 개수 - 1”과 같다.

  구체적인 알고리즘

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   I. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함(union)시킨다.
   II. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함X
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정 반복

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

v, e = map(int, input().split())
parent =[0] * (v+1)

edges = []
result = 0

for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost,a,b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

• O(ElogE) : 정렬 알고리즘의 시간 복잡도가 젤 큼!

위상 정렬

• 위상 정렬: 정렬 알고리즘의 일종. 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 이용.
  • 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’
    ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정.
• 진입차수: 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수를 의미.

위상 정렬의 알고리즘

1. 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   I. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다. II. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
   

=> 이때, 모든 원소에 방문하기 전 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단(큐에서 원소가 V번 추출되기 전에..)

위상 정렬 소스코드

from collections import deque

v, e = map(int, input().split())
indegree = [0] * (v + 1)
graph =[[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    indegree[b] += 1

def topoloty_sort():
    result = []
    q = deque()

    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.appned(i)

    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1

            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    
    for i in result:
        print(i, end=' ')
    
topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도

• O(V + E)